Zahlensysteme
Ein Zahlensystem legt fest, wie wir Zahlen mit Ziffern aufschreiben. Wir Menschen rechnen im Alltag mit dem Dezimalsystem, ein Computer hingegen mit dem Binärsystem. In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie beide funktionieren – und wie man Zahlen von einem System ins andere umrechnet.
Das Dezimalsystem – Ein alter Bekannter
Wir Menschen nutzen im Alltag das Dezimalsystem – also Zahlen zur Basis 10. Dieses Zahlensystem hat seinen Ursprung bei den alten Ägyptern und Babyloniern und hat sich durch viele Kulturen weiterentwickelt. Gründe für die Verbreitung des Dezimalsystems könnten folgende sein:
- Wir haben zehn Finger, was das Zählen einfach macht.
- Die Basis 10 ist einfach für grundlegende arithmetische Operationen.
Es gibt aber auch Quellen, die aussagen, dass es keinen bestimmten Grund gibt, warum das gewählte System das Dezimalsystem war. Vor langer Zeit hatte jede Zivilisation ihr eigenes Zahlensystem. Die Ägypter verwendeten das Dezimalsystem, die Babylonier ein sexagesimales System (Basis 60), einige verwendeten ein Basis-20-System (Finger und Zehen), und andere zählten 1, 2, 3, und alles ab 4 wurde einfach als «viele» bezeichnet. Der Konsens über das Dezimalsystem war wahrscheinlich entweder auf die Benutzerfreundlichkeit zurückzuführen oder darauf, dass es das erste Zahlensystem war, das leicht verwendbare Symbole für die Arithmetik entwickelte.
Schauen wir uns an, wie dieses System funktioniert. Die Zahl 4721 bedeutet eigentlich:
- 4 × 1000 = 4 × 10³
- 7 × 100 = 7 × 10²
- 2 × 10 = 2 × 10¹
- 1 × 1 = 1 × 10⁰
Oder mathematisch ausgedrückt:
Die Positionen einer Zahl haben also unterschiedliche Wertigkeiten (Stellenwerte):
- Einer = 10⁰ = 1
- Zehner = 10¹ = 10
- Hunderter = 10² = 100
- Tausender = 10³ = 1000 und so weiter …
Im Alltag denken wir beim Umgang mit Dezimalzahlen kaum an die Stellenwerte der einzelnen Ziffern, weil wir mit diesem System so vertraut sind.
Das Binärsystem – Die Sprache der Computer
Wie wir bereits gelernt haben, basiert im Computer alles auf zwei Zuständen, welche in den unzähligen Transistoren gespeichert und ständig angepasst werden.
Wichtig: Ein Computer kann also nicht direkt mit Dezimalzahlen umgehen, da diese zehn verschiedene Zustände (für die Ziffern 0 … 9) benötigen würden.
Das Binärsystem ist daher ein besserer Match für den Computer: Im Binärsystem (auch Zweiersystem, Basis 2) haben wir nur zwei Ziffern – 0 und 1. Jede Position hat nun die Wertigkeit einer Zweierpotenz.
Die binäre Zahl 1101 bedeutet:
- 1 × 8 = 1 × 2³
- 1 × 4 = 1 × 2²
- 0 × 2 = 0 × 2¹
- 1 × 1 = 1 × 2⁰
Oder wieder etwas mathematischer:
Die Positionen haben hier die Wertigkeiten:
- Einer = 2⁰ = 1
- Zweier = 2¹ = 2
- Vierer = 2² = 4
- Achter = 2³ = 8 und so weiter …
Das allgemeine Konzept – Beliebige Basen
Dieses Prinzip funktioniert mit jeder Basis. Nehmen wir als Beispiel das Oktalsystem (Basis 8). Die Oktalzahl 1234₈ bedeutet:
- 1 × 512 = 1 × 8³
- 2 × 64 = 2 × 8²
- 3 × 8 = 3 × 8¹
- 4 × 1 = 4 × 8⁰
Oder mathematisch:
Allgemein gilt für eine Basis
- Erste Position (ganz rechts):
- Zweite Position:
- Dritte Position:
- Vierte Position:
und so weiter …
Selbst ausprobieren
Wähle eine Basis, tippe eine Zahl ein und beobachte, wie sich der Wert aus den einzelnen Stellenwerten zusammensetzt:
Praktische Beispiele verschiedener Basen
Hexadezimalsystem (Basis 16)
- Verwendet die Ziffern 0–9 und A–F
- A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15
- Beispiel:
Oktalsystem (Basis 8)
- Verwendet die Ziffern 0–7
- Beispiel:
Binärsystem (Basis 2)
- Verwendet die Ziffern 0–1
- Beispiel:
Umrechnung zwischen Basen
Um eine Zahl von einer Basis in eine andere umzurechnen, gehen wir in zwei Schritten vor:
- Erst in Dezimal umrechnen – über die Stellenwerte (wie oben in den Beispielen gezeigt).
- Dann von Dezimal in die Zielbasis – durch wiederholtes Teilen durch die neue Basis.
Beispiel:
- In Dezimal umrechnen wie gewohnt:
- Wiederholtes Teilen durch 8:
Rest 5 Rest 1
Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben das Resultat:
Dieser Algorithmus funktioniert für jede Zielbasis. Es muss lediglich die 8 durch die entsprechende Basis ausgetauscht werden; angehängt wird jeweils der Rest der Division.
Mit dem folgenden Werkzeug kannst du den Divisions-Algorithmus für jede Zielbasis selbst durchspielen:
11011513DEin Zahlentrick mit Binärzahlen 🎩
Zum Schluss ein kleiner Zaubertrick, der zeigt, wie mächtig das Binärsystem ist. Denke dir eine Zahl von 1 bis 63 und tippe unten alle Karten an, auf denen deine Zahl vorkommt. Der Computer «liest deine Gedanken» und errät die Zahl – danach kannst du aufdecken, wie der Trick funktioniert.
Denke dir eine Zahl von 1 bis 63. Tippe dann jede Karte an, auf der deine Zahl steht. 🎩