Das Dezimalsystem - Ein alter Bekannter
Wir Menschen nutzen im Alltag das Dezimalsystem - also Zahlen zur Basis 10. Dieses Zahlensystem hat seinen Ursprung bei den alten Ägyptern und Babyloniern und hat sich durch viele Kulturen entwickelt. Gründe für die Verbreitung des Dezimalsystems könnten folgende sein:
- Wir haben Zehn Finger, was das zählen einfach macht
- Die Basis 10 ist einfach für grundlegende arithmetische Operationen.
Es gibt aber auch Quellen die aussagen, dass es keinen bestimmten Grund gibt, warum das gewählte System das Dezimalsystem war. Vor langer Zeit hatte jede Zivilisation ihr eigenes Zahlensystem. Die Ägypter verwendeten das Dezimalsystem, die Babylonier ein sexagesimales (Basis-60) System, einige verwendeten ein Basis-20-System (Finger und Zehen), und andere zählten 1, 2, 3, und alles ab 4 wurde einfach als „viele“ bezeichnet. Der Konsens über das Dezimalsystem war wahrscheinlich entweder auf die Benutzerfreundlichkeit oder darauf zurückzuführen, dass es das erste Zahlensystem war, das leicht verwendbare Symbole für die Arithmetik entwickelte.
Schauen wir uns an, wie dieses System funktioniert:
Die Zahl 4721 bedeutet eigentlich:
- 4 × 1000 = 4 × 10³
- 7 × 100 = 7 × 10²
- 2 × 10 = 2 × 10¹
- 1 × 1 = 1 × 10⁰
Oder mathematisch ausgedrückt: $$
4721 = 4×10^3 + 7×10^2 + 2×10^1 + 1×10^0
$$ Die Positionen einer Zahl haben also unterschiedliche Wertigkeiten:
- Einer = 10⁰ = 1
- Zehner = 10¹ = 10
- Hunderter = 10² = 100
- Tausender = 10³ = 1000 und so weiter...
Im Alltag denkend wir im Umgang mit Dezimalzahlen kaum an die Stellenwerte der einzelnen Ziffern weil wir mit diesem System so vertraut sind.
Das Binärsystem - Die Sprache der Computer
Wie wir bereits gelernt haben, basiert im Computer alles auf 2 Zuständen, welche in den unzähligen Transistoren gespeichert und ständig angepasst werden.
Wichtig: Ein Computer kann also nicht mit Dezimalzahlen umgehen, da diese 10 verschiedene Zustände (für die Ziffern 0...9) benötigen.
Das Binärsystem ist daher ein besserer Match für den Computer, denn im Binärsystem (oder auch Zweiersystem, Basis 2) haben wir nur zwei Ziffern: 0 und 1. Jede Position hat nun die Wertigkeit einer Zweierpotenz:
Die binäre Zahl 1101 bedeutet:
- 1 × 8 = 1 × 2³
- 1 × 4 = 1 × 2²
- 0 × 2 = 0 × 2¹
- 1 × 1 = 1 × 2⁰
Oder wieder etwas mathematischer: $$ 1101_2 = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10} $$ Die Positionen haben hier die Wertigkeiten:
- Einer = 2⁰ = 1
- Zweier = 2¹ = 2
- Vierer = 2² = 4
- Achter = 2³ = 8 und so weiter...
Das allgemeine Konzept - Beliebige Basen
Dieses Prinzip funktioniert mit jeder Basis. Nehmen wir als Beispiel das Oktalsystem (Basis 8):
Die Oktalzahl 1234₈ bedeutet:
- 1 × 512 = 1 × 8³
- 2 × 64 = 2 × 8²
- 3 × 8 = 3 × 8¹
- 4 × 1 = 4 × 8⁰
Oder mathematisch: $$ 1234_8 = 1×8³ + 2×8² + 3×8¹ + 4×8⁰ = 512 + 128 + 24 + 4 = 668_{10} $$ Allgemein gilt für eine Basis b:
- Erste Position: b⁰
- Zweite Position: b¹
- Dritte Position: b²
- Vierte Position: b³ und so weiter...
Praktische Beispiele verschiedener Basen
Hexadezimalsystem (Basis 16)
- Verwendet die Ziffern: 0-9 und A-F
- A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15
- Beispiel: $2AF_{16} = 2×16² + 10×16¹ + 15×16⁰ = 512 + 160 + 15 = 687_{10}$
Oktalsystem (Basis 8)
- Verwendet die Ziffern: 0-7
- Beispiel: $752₈ = 7×8² + 5×8¹ + 2×8⁰ = 448 + 40 + 2 = 490_{10}$
Binärsystem (Basis 2)
- Verwendet die Ziffern: 0-1
- Beispiel: $1010₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 0 = 10_{10}$
Umrechnung zwischen Basen
Um eine Zahl von einer Basis in eine andere umzurechnen:
- Erst in Dezimal umrechnen via Stellenwerte (wie oben in den Beispielen gezeigt)
- Dann von Dezimal in die Zielzahl durch wiederholtes Teilen durch die neue Basis
Beispiel: 1101₂ → Basis 8
- In Dezimal umrechnen wie gewohnt: $1101₂ = 13_{10}$
- Wiederholtes teilen:
- 13 ÷ 8 = 1 Rest 5
- 1 ÷ 8 = 0 Rest 1
Reste von unten nach oben lesen: $1101_2 = 15_8$
Die folgende Grafik beschreibt diesen Vorgang für die Variante Dezimal > Binär. Dieser Algorithmus funktioniert jedoch für jede Basis. Es muss lediglich bei der Division die 2 durch die entsprechende Basis ausgetauscht werden und es wird anstelle von einer 1/0, der Rest ans Ergebnis angehängt.
