Computer arbeiten ausschliesslich mit Binärzahlen, das sollte dir mittlerweile klar sein. Während du am Handy oder am Laptop Programme und Apps verwendest, erledigt dein Computer Millionen von Rechenaufgaben mit Binärzahlen. Die grundlegenden Operationen sind wie bei uns die Addition und die Subtraktion. Im Folgenden schauen wir uns diese an.

Binäre Addition

Theorie

Die binäre Addition funktioniert gleich wie die schriftliche Addition im Dezimalsystem – wir rechnen Spalte für Spalte von rechts nach links und nehmen einen allfälligen Übertrag in die nächste Spalte mit. Der einzige Unterschied: Wir haben nur die Ziffern 0 und 1. Es gibt daher genau vier Fälle:

Rechnung	Ergebnis	Übertrag?
0 + 0	0	–
0 + 1	1	–
1 + 0	1	–
1 + 1	10	Wir schreiben 0 und übertragen 1

Sobald ein Übertrag dazukommt, kann in einer Spalte sogar 1 + 1 + 1 = 11 entstehen – dann schreiben wir 1 und übertragen wieder 1.

Beispiel

Wir addieren 1011 und 1101. Wir schreiben die Zahlen untereinander und rechnen von rechts nach links:

   ¹¹¹      ← Überträge
   1011
 + 1101
 ------
  11000

1. Spalte 1 (rechts): 1 + 1 = 10 → schreibe 0, Übertrag 1.
2. Spalte 2: 1 + 0 + 1 (Übertrag) = 10 → schreibe 0, Übertrag 1.
3. Spalte 3: 0 + 1 + 1 (Übertrag) = 10 → schreibe 0, Übertrag 1.
4. Spalte 4: 1 + 1 + 1 (Übertrag) = 11 → schreibe 1, Übertrag 1.
5. Der letzte Übertrag 1 wird ganz links notiert.

Die Summe von 1011 und 1101 ist also 11000. Wir kontrollieren im Dezimalsystem: $11+13=24$, und ${11000}_2={24}_{10}$. Die Rechnung stimmt.

Klicke dich im folgenden Applet Spalte für Spalte durch dieselbe Rechnung – und probiere danach eigene Zahlen aus:

Addition · Basis 2

+

1

0

1

1

+

1

1

0

1

Klicke auf «Rechnung starten» und rechne Spalte für Spalte von rechts nach links.

Binäre Subtraktion

Theorie

Die binäre Subtraktion funktioniert wie die schriftliche Subtraktion im Dezimalsystem. Reicht eine Stelle nicht aus, leihen wir uns 1 von der nächsten Stelle links aus. Die Regeln:

Rechnung	Ergebnis	Ausleihen?
0 − 0	0	–
1 − 0	1	–
1 − 1	0	–
0 − 1	1	Wir leihen 1 von der nächsten Stelle aus

Beispiel

Wir subtrahieren 1011 von 1101 (rechnen also 1101 − 1011). Auch hier gehen wir Spalte für Spalte von rechts nach links vor:

   1101
 - 1011
 ------
   0010

1. Spalte 1 (rechts): 1 − 1 = 0.
2. Spalte 2: 0 − 1 geht nicht → wir leihen 1 von der nächsten Stelle aus und schreiben 1.
3. Spalte 3: Die Stelle wurde ausgeliehen, also 0 − 0 = 0 (die ursprüngliche 1 wurde weggegeben) → schreibe 0.
4. Spalte 4: 1 − 1 = 0.

Das Ergebnis ist 0010, also 10. Wir kontrollieren im Dezimalsystem: $13-11=2$, und ${10}_2=2_{10}$. Die Rechnung stimmt.

Auch das kannst du im Applet Schritt für Schritt nachvollziehen und mit eigenen Zahlen üben (das Ergebnis darf nicht negativ werden, also muss die erste Zahl grösser oder gleich der zweiten sein):

Subtraktion · Basis 2

−

1

1

0

1

−

1

0

1

1

Klicke auf «Rechnung starten» und rechne Spalte für Spalte von rechts nach links.

Exkurs: Negative Zahlen

Wir haben bisher nur mit positiven Binärzahlen gerechnet. Das hat seinen Grund: Negative Zahlen werden im Binärsystem etwas komplizierter dargestellt. Falls es dich interessiert, wird hier erklärt, wie das funktioniert. Das gehört nicht zum Pflichtstoff des Unterrichts. Du wirst daher auch keine Subtraktion durchführen müssen, bei der das Resultat negativ sein wird.

Aufgaben

Rechne die folgenden Aufgaben von Hand und zeige den Lösungsweg. Überprüfe deine Rechnungen, indem du die Zahlen ins Dezimalsystem umwandelst. Erst danach klappst du die Lösung auf – oder du kontrollierst sie mit dem Applet oben, indem du die Zahlen dort einsetzt.

Aufgabe 1: $1010+0111$

Lösung anzeigen

Ergebnis: 1010 + 0111 = 10001

Kontrolle: $10+7=17$, und ${10001}_2={17}_{10}$ ✓

Aufgabe 2: $1100+0011$

Lösung anzeigen

Ergebnis: 1100 + 0011 = 1111

Kontrolle: $12+3=15$, und ${1111}_2={15}_{10}$ ✓

Aufgabe 3: $10101-01011$

Lösung anzeigen

Ergebnis: 10101 − 01011 = 01010

Kontrolle: $21-11=10$, und ${1010}_2={10}_{10}$ ✓

Aufgabe 4: $11010-01101$

Lösung anzeigen

Ergebnis: 11010 − 01101 = 01101

Kontrolle: $26-13=13$, und ${1101}_2={13}_{10}$ ✓